Homogenization of p-Laplacian in perforated domain
Leonid Pankratov, Andrey Lvovich Piatnitski, Brahim Amaziane, S. N. Antont︠s︡ev · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2009
We study the homogenization of the following nonlinear Dirichlet variational problem: \inf \left\{\:\int \limits_{\Omega ^{ɛ}}\left\{\frac{1}{p_{ɛ}(x)}|\mathrm{∇}u|^{p_{ɛ}(x)} + \frac{1}{p_{ɛ}(x)}|u|^{p_{ɛ}(x)}−f(x)u\right\}\:dx:\:u \in W_{0}^{1,p_{ɛ}( \cdot )}\left(\Omega ^{ɛ}\right)\right\} in a perforated domain \Omega ^{ɛ} = \Omega \setminus \mathcal{F}^{ɛ} \subset \mathbb{R}^{n} , n⩾2 , where ɛ is a small positive parameter that characterizes the scale of the microstructure. The non-standard exponent p_{ɛ}(x) is assumed to be an oscillating continuous function in \bar\Omega such that, for any ɛ > 0 , 1 0 est un petit paramètre qui caractérise la taille des perforations. La fonction puissance p_{ɛ}(x) est nonstandard et supposée être une fonction continue et oscillante dans \bar\Omega . Elle vérifie, pour tout ɛ > 0 , 1 < p_{ɛ}(x)⩽n dans Ω , pour tout x,y \in \Omega , |p_{ɛ}(x)−p_{ɛ}(y)|⩽\omega _{ɛ}(|x−y|) avec \overline{\mathrm{\lim }}_{\tau \rightarrow 0}\omega _{ɛ}(\tau )\mathrm{\ln }(1/ \tau ) = 0 ; et elle est uniformément convergente dans Ω vers une fonction p_{0} qui vérifie les mêmes propriétés. De plus, on suppose que p_{ɛ}(x)⩾p_{0}(x) dans Ω . On note u^{ɛ} une solution du problème de minimisation variationnel ci-dessus, sans hypothèse