Positive solutions to superlinear second-order divergence type elliptic equations in cone-like domains
Vladimir Kondratiev, Vitali Liskevich, Vitaly Moroz · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2004
We study the problem of the existence and nonexistence of positive solutions to the superlinear second-order divergence type elliptic equation with measurable coefficients −\mathrm{∇} \cdot a \cdot \mathrm{∇}u = u^{p} (*),\ p > 1 , in an unbounded cone-like domain G \subset \mathbb{R}^{N} (N⩾3) . We prove that the critical exponent p^{*}(a\text{,}G) = \mathrm{\inf }\{p > 1:\:(*)\:\text{has a positive supersolution at infinity in}\:G\} for a nontrivial cone-like domain is always in (1\text{,}\frac{N}{N−2}) and depends both on the geometry of the domain G and the coefficients a of the equation. Résumé Nous étudions le problème d'existence ou non existence de solutions positives d'équations elliptiques de type divergence du second-ordre superlinéaires à coefficients mesurables −\mathrm{∇} \cdot a \cdot \mathrm{∇}u = u^{p} (*) , p > 1 , sur un domaine conique G \subset \mathbb{R}^{N} (N⩾3) . Nous prouvons que l'exposant critique p^{*}(a\text{,}G) = \mathrm{\inf }\{p > 1:\:(*)\:\text{a une supersolution positive à l'infini dans}\:G\} pour un domaine conique non–trivial est toujours dans (1\text{,}\frac{N}{N−2}) , dépend à la fois de la géometrie du domaine G et des coefficients a de l'équation.