The p-harmonic system with measure-valued right hand side
Georg Dolzmann, Norbert Hungerbühler, Stefan G. Müller · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 1997
For 2 - \frac{1}{n} we prove existence of a distributional solution u of the p -harmonic system \begin{align*} - \mathrm{div}\left(\left| abla _{u}\right|^{p - 2} abla u\right) &= \mu && \text{in } \Omega \\ u &= 0 && \text{on } \partial \Omega , \end{align*} where Ω is an open subset of ℝ^n (bounded or unbounded), u : Ω → ℝ^m , and μ is an ℝ^m -valued Radon measure of finite mass. For the solution u we establish the Lorentz space estimate \left\|Du\right\|_{L^{q,\infty }} + \left\|u\right\|_{L^{q*,\infty }} \leq C\left\|\mu \right\|_{\mathcal {M}}^{\frac{1}{p - 1}} with q = \frac{n}{n - 1}\left(p - 1\right) and q^* = \frac{n}{n - p}\left(p - 1\right) . The main step in the proof is to show that for suitable approximations the gradients Du_k converge a.e. This is achieved by a choice of regularized test functions and a localization argument to compensate for the fact that in general u otin W^{1,p} . Résumé Soit 2 − \frac 1 n < p < n , Ω un ensemble ouvert de ℝ^n (borné ou non borné) et μ une mesure de Radon avec masse finite. On démontre que le système p -harmonique \begin{align*} - \text{div}\left(\left| abla u\right|^{p - 2} abla u\right) &= \mu && \text{dans } \Omega , \\ u &= 0 && \text{sur } \partial \Omega , \end{align*} possède une solution distributionnelle. Pour cette solution on établit des estimations dans les espaces de Lorentz. \left\|Du\right\|_{L^{q,\infty }} + \left\|u\right\|_{L^{q*,\infty }} \leq C\left\|\mu \right\|_{\mathcal {M}}^{\frac{1}{p - 1}}. lci, q = \frac{n}{n - 1}\left(p - 1\right) et q^* = \frac{n}{n - p}\left(p - 1\right) . Le pas le plus important est de démontrer que, pour des approximations propres, les gradients Du_k convergent presque partout. Celà est fait en choisissant des fonctions de test régularisées et en appliquant un argument de localisation pour compenser que, en général, u otin W^{1,p} .