Characterization and representation of the lower semicontinuous envelope of the elastica functional
Giovanni Bellettini, Luca Mugnai · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2004
We characterize the lower semicontinuous envelope \overline{\mathcal F} of the functional {\mathcal F}(E):=\int_{\partial E}[1+|κ_{∂E}|^p] d{\mathcal H}^1 , defined on boundaries of sets E\subset ℝ^2 , where κ_{∂E} denotes the curvature of ∂E and p>1 . Through a desingularization procedure, we find the domain of \overline{\mathcal F} and its expression, by means of different representation formulas. Résumé On caractérise l’enveloppe semi-continue inférieure \overline{\mathcal F} de la fonctionnelle \mathcal F(E):=\int_{∂E}[1+|κ_{∂E}|^p] d\mathcal H^1 , définie sur la classe des frontières des domaines E\subset ℝ^2 , où κ_{∂E} dénote la courbure de ∂E et p>1 . Grâce à une méthode de désingularisation, on trouve le domaine de \overline{\mathcal F} et son expression, à l’aide de différentes formules de représentation.