On the symmetry of blowup solutions to a mean field equation
Chuin Chuan Chen, Chang‐Shou Lin · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2001
In this article, we consider the mean field equation \Delta u + \rho \left(\frac{e^{u}}{\int e^{u}}−\frac{1}{A}\right) = 0 \text{ in }Σ, where Σ* is a flat torus and A is the area of Σ . This paper is concerned with the symmetry induced by the phenomenon of concentration. By using the method of moving planes, we prove that blowup solutions often possess certain symmetry. In this paper, we consider cases when solutions blowup at one or two points. We also consider related problems for annulu domains of \mathbf R^2 . Résumé Nous considérons l’équation de champ moyen \Delta u + \rho \left(\frac{e^{u}}{\int e^{u}}−\frac{1}{A}\right) = 0 \text{ dans }Σ, où Σ est un tore plat et A est l’aire de Σ . Cet article se rapporte à la symétrie induite par le phénomène de concentration. En utilisant la méthode de déplacement de plans, nous démontrons que les solutions avec singularités possèdent dans la plupart des cas des propriétés de symétrie. Dans cet article, nous considérons des cas où les solutions explosent en un ou deux points. Nous traitons également de problèmes reliés pour des domaines annulaires de \mathbf R^2 avec conditions de Dirichlet an berd.