On symmetry of nonnegative solutions of elliptic equations
Peter Poláčik · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2011
We consider the Dirichlet problem for a class of fully nonlinear elliptic equations on a bounded domain Ω . We assume that Ω is symmetric about a hyperplane H and convex in the direction perpendicular to H . By a well-known result of Gidas, Ni and Nirenberg and its generalizations, all positive solutions are reflectionally symmetric about H and decreasing away from the hyperplane in the direction orthogonal to H . For nonnegative solutions, this result is not always true. We show that, nonetheless, the symmetry part of the result remains valid for nonnegative solutions: any nonnegative solution u is symmetric about H . Moreover, we prove that if u≢0 , then the nodal set of u divides the domain Ω into a finite number of reflectionally symmetric subdomains in which u has the usual Gidas–Ni–Nirenberg symmetry and monotonicity properties. We also show several examples of nonnegative solutions with a nonempty interior nodal set. Résumé Nous considérons le problème de Dirichlet pour une classe dʼéquations elliptiques complètement non-linéaires sur un domaine borné Ω . Nous supposons que Ω est symétrique par rapport à un hyperplan H et convexe dans la direction perpendiculaire à H . Par un résultat bien connu de Gidas, Ni et Nirenberg ainsi que par ses généralisations, toutes les solutions positives sont symétriques par rapport à une réflextion de H et décroissent à partir de leur distance de lʼhyperplan dans la direction orthogonale à H . Pour les solutions non-négatives, ce résultat nʼest pas toujours vrai. Nous montrons que, néanmoins, le résultat sur la symétrie reste valable pour les solutions positives : toute solution non-négative u est symétrique par rapport à H . En outre, nous montrons que si u≢0 , alors lʼensemble nodal de u divise le domaine Ω en un nombre fini de sous-domaines symétriques sous réflextion dans lesquels u possède la symétrie habituelle de Gidas–Ni–Nirenberg et des propriétés de monotonie. Nous montrons aussi plusieurs exemples de solutions positives avec un ensemble nodal intérieur non vide.