Uniqueness and asymptotic behavior of solutions with boundary blow-up for a class of nonlinear elliptic equations
Moshe Marcus, Лаурент Верон · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 1997
We study the uniqueness and expansion properties of the positive solutions u of (E) Δu + hu − ku^p = 0 in a non-smooth domain Ω , subject to the condition u(x) → ∞ when \operatorname{dist} (x, ∂Ω) → 0 , where h and k are continuous functions in \overline\Omega , k > 0 and p > 1 . When ∂Ω has the local graph property, we prove that the solution is unique. When ∂Ω has a singularity of conical or wedge-like type, we give the asymptotic behavior of u . When ∂Ω has a re-entrant cuspidal singularity, we prove that the rate of blow-up may not be of the same order as in the previous more regular cases. Résumé Nous étudions les propriétés d’unicité et de comportement limite des solutions positives u de (E) Δu + hu − ku^p = 0 dans un domaine non régulier Ω , sujettes à la condition u(x) → ∞ quand \operatorname{dist} (x, ∂Ω) → 0 , où h et k sont des fonctions continues dans \overline\Omega , k > 0 et p > 1 . Quand ∂Ω a la propriété du graphe local, nous démontrons que la solution est unique. Quand ∂Ω a une singularité de type conique ou dièdrale, nous donnons le comportement asymptotique de u . Quand ∂Ω a une singularité cuspide rentrante, nous montrons que l’ordre de l’explosion peut ne pas être le même que dans les cas précédents.