\( L^{1} \) existence and uniqueness results for quasi-linear elliptic equations with nonlinear boundary conditions
FUENSANTA ANDREU, Noureddine Igbida, José M. Mazón, Julián Toledo · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2006
In this paper we study the questions of existence and uniqueness of weak and entropy solutions for equations of type −\mathrm{div}\mathbf{a}(x,Du) + \gamma (u) i \phi , posed in an open bounded subset Ω of \mathbb{R}^{N} , with nonlinear boundary conditions of the form \mathbf{a}(x,Du) \cdot \eta + \beta (u) i \psi . The nonlinear elliptic operator \mathrm{div}\mathbf{a}(x,Du) is modeled on the p -Laplacian operator \mathrm{\Delta }_{p}(u) = \mathrm{div}(|Du|^{p−2}Du) , with p > 1 , γ and β are maximal monotone graphs in \mathbb{R}^{2} such that 0 \in \gamma (0) and 0 \in \beta (0) , and the data \phi \in L^{1}(\Omega ) and \psi \in L^{1}(\partial \Omega ) . Résumé Dans ce papier nous étudions les questions d'existence et d'unicité de solution faibles et entropiques pour des équations elliptiques de la forme −\mathrm{div}\mathbf{a}(x,Du) + \gamma (u) i \phi , dans un domaine borné \Omega \subset \mathbb{R}^{N} , avec des conditions au bord générales de la forme \mathbf{a}(x,Du) \cdot \eta + \beta (u) i \psi . L'opérateur \mathrm{div}\mathbf{a}(x,Du) généralise l'opérateur p -Laplacien \mathrm{\Delta }_{p}(u) = \mathrm{div}(|Du|^{p−2}Du) , avec p > 1 , γ et β sont des graphes maximaux monotones dans \mathbb{R}^{2} tels que 0 \in \gamma (0) \cap \beta (0) , et les données ϕ et ψ sont des fonctions L^{1} .