Uniqueness and stability of regional blow-up in a porous-medium equation
Carmen Cortázar, Manuel del Pino, Manuel Elgueta · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2002
We study the blow-up phenomenon for the porous-medium equation in \mathbf R^N , N⩾1 , u_{t} = \Delta u^{m} + u^{m}, m>1 , for nonnegative, compactly supported initial data. A solution u(x,t) to this problem blows-up at a finite time \bar T > 0 . Our main result asserts that there is a finite number of points x_1,…,x_k∈\mathbf R^N , with \left|x_{i} - x_{j}\right| \geq 2R^* for i≠j , such that \lim \limits_{t\rightarrow \bar T}\left(\bar T - t\right)^{\frac{1}{m - 1}}u\left(t,x\right) = \sum \limits_{j = 1}^{k}w_{*}\left(\left|x - x_{j}\right|\right). Here w_{*}\left(\left|x\right|\right) is the unique nontrivial, nonnegative compactly supported, radially symmetric solution of the equation \Delta w^{m} + w^{m} - \frac{1}{m - 1}w = 0 in \mathbf R^N and R^∗ is the radius of its support. Moreover u(x,t) remains uniformly bounded up to its blow-up time on compact subsets of \mathbf {R}^{N}\backslash \bigcup _{j = 1}^{k}\bar B(x_{j},R^*) . The question becomes reduced to that of proving that the ω -limit set in the problem v_{t} = \Delta v^{m} + v^{m} - \frac{1}{m - 1}v consists of a single point when its initial condition is nonnegative and compactly supported. Résumé Nous étudions le phénomène d’explosion pour l’équation des milieux poreux dans \mathbf R^N , N⩾1 , u_{t} = \Delta u^{m} + u^{m}, m>1 , pour une donnée initiale positive ou nulle, à support compact. Une solution u(x,t) de ce problème explose en temps fini \bar T > 0 . Notre principal résultat établit qu’il existe un nombre fini de points x_1,…,x_k∈\mathbf R^N , with \left|x_{i} - x_{j}\right| \geq 2R^* avec i≠j , tels que \lim \limits_{t\rightarrow \bar T}\left(\bar T - t\right)^{\frac{1}{m - 1}}u\left(t,x\right) = \sum \limits_{j = 1}^{k}w_{*}\left(\left|x - x_{j}\right|\right). Ici w_∗(|x|) est l’unique solution non triviale, positive ou nulle, à support compact et à symétrie radiale de l’équation \Delta w^{m} + w^{m} - \frac{1}{m - 1}w = 0 dans \mathbf R^N et R^∗ est le rayon de son support. De plus, u(x,t) reste uniformément bornée jusqu’à son temps d’explosion sur des sous-ensembles compacts \mathbf {R}^{N}\backslash \bigcup _{j = 1}^{k}\bar B\left(x_{j},R^*\right) . La question est ramenée à la démonstration que l’ensemble ω -limite du problème v_{t} = \Delta v^{m} + v^{m} - \frac{1}{m - 1}v est constitué d’un seul point quand sa donnée initiale est positive ou nulle et à support compact.