On the continuation of solutions for elliptic equations in two variables
Frank Müller · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2002
We consider nonlinear elliptic differential equations of second order in two variables F(x,y,z(x,y),z_x(x,y),\dots,z_{yy}(x,y))=0 , (x,y)\in \Omega \subset \mathbb{R}^{2} . Supposing analyticity of F , we prove analyticity of the real solution z=z(x,y) in the open set \Omega . Furthermore, we show that z may be continued as a real analytic solution for F=0 across the real analytic boundary arc \Gamma \subset \partial \Omega , if z satisfies one of the boundary conditions z=\varphi or z_{\bm{n}} = \psi (x,y,z,z_{\bm t}) on \Gamma with real analytic functions \varphi and \psi , respectively ( z_{\bm n} denotes the derivative of z w.r.t. the outer normal \bm n on \Gamma and z_{\bm t} its derivative w.r.t. the tangent). The proof is based on ideas of H. Lewy combined with a uniformization method. Studying quasilinear equations, we get somewhat better results concerning the initial regularity of the given solution and a little more insight. Résumé Nous considérons les équations différentielles non-linéaires elliptiques d’ordre deuxième dépendant de deux variables F(x,y,z(x,y),z_x(x,y),\dots,z_{yy}(x,y))=0 , (x,y)\in \Omega \subset \mathbb{R}^{2} . Supposent l’analyticité de F , nous démontrons l’analyticité de la solution réelle z=z(x,y) dans l’ensemble ouvert \Omega . En outre, nous démontrons qu’on peut prolonger z comme solution analytique réelle de F=0 à travers la courbe \Gamma \subset \partial \Omega , si z vérifie une des conditions aux limites z=\varphi or z_{\bm{n}} = \psi (x,y,z,z_{\bm t}) sur \Gamma avec des fonctions analytiques réelles \varphi et \psi ( z_{\bm n} designe la dérivée de z par rapport à la normale extérieure \bm n sur \Gamma et z_{\bm t} la dérivée de z par rapport à la tangente). La démonstration est fondée sur des idées de H. Lewy, combinées avec une méthode d’uniformisation. En regardant des équations quasi-linéaires, nous réalisons des résultats améliorés en ce qui concerne la regularité initiale de la solution donnée et un peu plus de compréhension.