New results on Γ-limits of integral functionals
Caterina Ida Zeppieri, Nadia Ansini, Gianni Dal Maso · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2013
For \psi \in W^{1,p}(\Omega ;\mathbb{R}^{m}) and g \in W^{−1,p}(\Omega ;\mathbb{R}^{d}) , 1 < p < + \infty , we consider a sequence of integral functionals F_{k}^{\psi ,g}:W^{1,p}(\Omega ;\mathbb{R}^{m}) \times L^{p}(\Omega ;\mathbb{R}^{d \times n})\rightarrow [0, + \infty ] of the form F_{k}^{\psi ,g}(u,v) = \left\{\begin{matrix} \int _{\Omega }f_{k}(x,\mathrm{∇}u,v)\:dx & \text{if }u−\psi \in W_{0}^{1,p}(\Omega ;\mathbb{R}^{m})\text{ and }\mathrm{div}v = g, \\ + \infty & \text{otherwise,} \\ \end{matrix}\right. where the integrands f_{k} satisfy growth conditions of order p , uniformly in k . We prove a Γ -compactness result for F_{k}^{\psi ,g} with respect to the weak topology of W^{1,p}(\Omega ;\mathbb{R}^{m}) \times L^{p}(\Omega ;\mathbb{R}^{d \times n}) and we show that under suitable assumptions the integrand of the Γ -limit is continuously differentiable. We also provide a result concerning the convergence of momenta for minimizers of F_{k}^{\psi ,g} . Résumé Pour tout \psi \in W^{1,p}(\Omega ;\mathbb{R}^{m}) et g \in W^{−1,p}(\Omega ;\mathbb{R}^{d}) , 1 < p < + \infty , nous considérons une suite de fonctionnelles intégrales F_{k}^{\psi ,g}:W^{1,p}(\Omega ;\mathbb{R}^{m}) \times L^{p}(\Omega ;\mathbb{R}^{d \times n})\rightarrow [0, + \infty ] définies par F_{k}^{\psi ,g}(u,v) = \left\{\begin{matrix} \int _{\Omega }f_{k}(x,\mathrm{∇}u,v)\:dx & \text{si }u−\psi \in W_{0}^{1,p}(\Omega ;\mathbb{R}^{m})\text{ et }\mathrm{div}v = g, \\ + \infty & \text{sinon}, \\ \end{matrix}\right. où les intégrandes f_{k} satisfont des conditions de croissance d'ordre p , uniformément en k . Nous démontrons un résultat de Γ -compacité pour F_{k}^{\psi ,g} par rapport à la topologie faible sur W^{1,p}(\Omega ;\mathbb{R}^{m}) \times L^{p}(\Omega ;\mathbb{R}^{d \times n}) et nous prouvons que sous des conditions appropriées, l'intégrande de la Γ -limite est continûment différentiable. Nous montrons également un résultat de convergence des moments pour les minima de F_{k}^{\psi ,g} .