Isoperimetric profile and uniqueness for Neumann problems
Marcello Lucia · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2007
Given a connected compact Riemannian surface (M,g) , f an absolutely continuous function satisfying f⩾f^{′} > 0 and a real parameter α , we deal with classical solutions of \begin{cases} −\mathrm{\Delta }_{g}u = f(u)−\alpha & \text{in }M, \\ \frac{\partial u}{\partial n} = 0 & \text{on }\partial M. \end{cases} We prove that any non-constant solution of the above problem satisfies \int \limits_{M}f(u)⩾8\pi \inf \limits_{s \in (0,\mathrm{vol}(M))}\left\{\frac{I_{M}^{2}(s)}{I_{\mathbb{S}_{M}}^{2}(s)}\right\}, where I_{M} and I_{\mathbb{S}_{M}} denote respectively the isoperimetric profile of M and of the standard two-dimensional sphere having same measure than M (see Definition 2.1 below). This inequality is applied to derive new uniqueness results for mean field type equations. A similar result for linear problems is established and gives lower bounds for the first non-zero Neumann eigenvalue. Résumé Étant donnée une surface Riemannienne compacte connexe (M,g) , f une fonction absolument continue satisfaisant f⩾f^{′} > 0 et un paramètre réel α , nous considérons les solutions classiques du problème de Neumann décrit ci-dessus. Nous prouvons que toute solution non-constante vérifie \int \limits_{M}f(u)⩾8\pi \inf \limits_{s \in (0,\mathrm{vol}(M))}\left\{\frac{I_{M}^{2}(s)}{I_{\mathbb{S}_{M}}^{2}(s)}\right\}, où I_{M} et I_{\mathbb{S}_{M}} dénotent respectivement les profils isopérimétriques de M et de la sphère canonique bi-dimensionelle ayant même mesure que M . Cette inégalité est appliquée pour dériver de nouveaux résultats d'unicité pour des équations du type champs moyen. Un résultat similaire est établi pour des problèmes linéaires et permet de dériver diverses bornes inférieures sur la première valeure propre non-nulle.