Équation de Burgers avec conditions initiales à accroissements indépendants et homogènes
Laurent Carraro, Jean Duchon · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 1998
We study here solutions of inviscid Burgers equation with a stochastic initial value with homogeneous and independent increments without positive jumps. We define the notion of intrinsic statistical solution of this evolution equation and show that a family (X (t); t ≥ 0) of homogeneous Lévy processes is an intrinsic statistical solution of Burgers equation if and only if the exponent functions ψ (t, w) satisfy the differential equation: ∂_tψ = i ψ ∂_wψ . The existence of such solutions follows then from the examination of that last equation. The case of a brownian initial condition is made explicit. Résumé On s’intéresse ici aux solutions de l’équation de Burgers non visqueuse avec condition initiale à accroissements indépendants et homogènes, à sauts négatifs. On dégage la notion de solution statistique intrinsèque de cette équation d’évolution et on montre qu’une famille (X (t); t ≥ 0) de processus de Lévy homogènes est solution statistique intrinsèque de l’équation de Burgers si et seulement si les fonctions exposants ψ (t, w) satisfont l’équation: ∂_tψ = i ψ ∂_wψ . L’étude de cette équation permet d’établir l’existence d’une telle solution. Le cas d’une condition initiale brownienne est explicité.