Statistical mechanics of the N-point vortex system with random intensities on a bounded domain
Cassio Neri · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2004
The system of N point vortices on a bounded domain Ω is considered under the hypothesis that vortex intensities are independent and identically distributed random variables with respect to a law P supported on a bounded subset of ℝ . It is shown that, in the limit N→+∞ , the 1-vortex distribution on Ω is a minimizer of the free energy functional (a combination of entropy and energy functionals) and is associated to (some) solutions of the following non-linear Poisson Equation (called Mean Field Equation): \tag{1} \begin{cases} - \Delta u\left(x\right) = \left[\int \int e^{ - \beta ru\left(y\right)}\text{dy}P\left(\text{d}r\right)\right]^{ - 1}\int r_{1}e^{ - \beta ru\left(x\right)}P\left(\text{d}r\right), & \forall x \in \Omega , \\ u\left(x\right) = 0, & \forall x \in \partial \Omega . \end{cases} Résumé Le systéme de N vortex ponctuels sur un domaine Ω borné est considéré sous l’hypothèse que les intensités des vortex sont des variables aléatoires indépendentes et identiquement distribuées selon la loi P de support inclus dans un borné de ℝ . On montre que, à la limite quand N→+∞ , la distribution d’un seul vortex dans Ω est un minimiseur de la fonctionnelle d’énergie libre (qui est une composition de l’entropie et de l’énergie) et qui est associée à (certaines) solutions de l’équation de Poisson non linéaire (dite de Champ Moyen) (1).