Sign-changing solutions of competition–diffusion elliptic systems and optimal partition problems
Hugo Tavares, Susanna Terracini · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2011
In this paper we prove the existence of infinitely many sign-changing solutions for the system of m Schrödinger equations with competition interactions −\mathrm{\Delta }u_{i} + a_{i}u_{i}^{3} + \beta u_{i}\sum \limits_{j eq i}u_{j}^{2} = \lambda _{i,\beta }u_{i},\:u_{i} \in H_{0}^{1}(\Omega ),\:i = 1,\dots,m where Ω is a bounded domain, \beta > 0 and a_{i}⩾0 ∀i . Moreover, for a_{i} = 0 , we show a relation between critical energies associated with this system and the optimal partition problem \inf_{\scriptsize \begin{array}{c} \omega_{i} \subset \Omega \:\text{open}\\ \omega_{i} \cap \omega_{j} = \emptyset \:\forall i eq j \end{array} } \sum_{i = 1}^{m}\lambda _{k_{i}}(\omega _{i}), where \lambda _{k_{i}}(\omega ) denotes the k_{i} -th eigenvalue of −Δ in H_{0}^{1}(\omega ) . In the case k_{i}⩽2 we show that the optimal partition problem appears as a limiting critical value, as the competition parameter β diverges to +∞ . Résumé Dans cet article nous montrons lʼexistence dʼune infinité de solutions qui changent de signe pour le système dʼéquations de Schrödinger avec des interactions compétitives −\mathrm{\Delta }u_{i} + a_{i}u_{i}^{3} + \beta u_{i}\sum \limits_{j eq i}u_{j}^{2} = \lambda _{i,\beta }u_{i},\:u_{i} \in H_{0}^{1}(\Omega ),\:i = 1,…,m où Ω est un domaine borné, \beta > 0 et a_{i}⩾0 ∀i . De plus, quand a_{i} = 0 , nous démontrons une relation entre les énergies critiques associées à ce système et le problème de partition optimale \inf_{\scriptsize \begin{array}{c} \omega_{i} \subset \Omega \:\text{open}\\ \omega_{i} \cap \omega_{j} = \emptyset \:\forall i eq j \end{array} } \sum_{i = 1}^{m}\lambda _{k_{i}}(\omega _{i}), \lambda _{k_{i}}(\omega ) indiques la k_{i} -ème valeur propre de lʼopérateur −Δ in H_{0}^{1}(\omega ) . Dans le cas k_{i}⩽2 , nous montrons que le problème de partition optimale apparaît comme une valeur limite critique, en tant que paramètre de compétition β diverge vers +∞ .