Algebraic approach to modal extensions of Łukasiewicz logics
Bruno Teheux · ORBi (University of Liège) · 2009
D'autre part, en enrichissant le langage propositionnel de nouveaux connecteurs, appelés modalités, le logicien a pour but de pouvoir nuancer chacune de ses formules : une formule peut être possible, connue, prouvable etc. L'accent était mis du côté syntaxique.Dans les deux cas, l'approche algébrique de ces systèmes formels donna d'intéressants résultats.Ainsi, les logiques multivaluées de ukasiewicz furent approchées au travers de la variété des MV-algèbres introduite par Chang dans [5] et [6].Cette approche algébrique permit par exemple à Chang de donner une preuve algébrique du théorème de complétude de la logique invaluée de ukasiewicz (voir [6]).Depuis lors, cette variété n'a eu cesse d'attirer l'attention des algébristes pour ses multiples propriétés généralisant celles des algèbres de Boole (voir [10] et [22]).L'approche algébrique des logiques modales fut quand à elle introduite par Jónsson et Tarski dans [33] et [34].La variété des algèbres de Boole à opérateurs qu'ils dénirent fournit une sémantique vis à vis de laquelle toute logique modale normale est complète.Mais, comme nous allons le préciser, cette sémantique algébrique ne reçut qu'une vingtaine d'années plus tard toute l'attention qu'elle mérite.Entre temps, les années soixante virent naître un type de sémantique qui fut responsable du succès des logiques modales chez les mathématiciens, les informaticiens, les philosophes et les linguistes.Il s'agit de la classe des sémantiques relationnelles.L'idée de base de cette approche est très attirante intuitivement.Un modèle de Kripke est un ensemble non vide W (qu'on appelle univers et dont les éléments sont appelés mondes) muni d'une relation binaire R et d'une valuation Val, c'est à dire d'une fonction qui associe à toute variable propositionnelle en tout monde une valeur de vérité dans {0, 1}.Cette valuation est étendue inductivement à vi Très brièvement, l'algèbre complexe d'une structure F basée sur l'univers W est l'algèbre de Boole des fonctions de W dans l'algèbre de Boole à deux éléments 2 sur laquelle est greée une nouvelle opération dont le but est de traduire l'information contenue dans la relation d'accessibilité de F. L'algèbre complexe encapsule la théorie modale de F puisqu'une formule φ ↔ ψ est valide dans F si et seulement si l'équation correspondante φ = ψ est satisfaite dans l'algèbre complexe de F. La structure canonique d'une algèbre de Boole à opérateur A a pour univers l'ensemble des homomorphismes de A dans 2 et pour relation d'accessibilité la plus grande relation compatible avec l'opérateur modal de A. Si une formule φ ↔ ψ est valide dans cette structure canonique alors l'équation φ = ψ correspondante est satisfaite dans l'algèbre à laquelle la structure est associée.lesquels les variables propositionnelles sont évaluées dans une sous MV-algèbre complète de la MV-algèbre [0, 1] (les relations ne sont pas multivaluées).Étant donné que la variété des MV-algèbres partage beaucoup de propriétés avec celle des algèbres de Boole, nous avions espoir de trouver dans cette variété les caractéristiques requises pour une approche algébrique menant au moins à un théorème de complétude.Malheureusement, même si nous obtenons des résultats intéressants dans le cas le plus général des modèles [0, 1]-valués, les résultats les plus forts que nous prouvons dans cette dissertation concernent les modèles n -valués (où n désigne la sous-algèbre {0, 1 n , . . ., n-1 n , 1} de [0, 1] pour tout entier strictement positif n).Ainsi, par exemple, ce n'est que dans les cas À ce stade des constructions, le lecteur ne réalise peut-être pas l'importance de ces classes de structures dans la gamme des sémantiques relationnelles pour les logiques modales multivaluées.En fait, il s'agit du niveau le plus naturel pour l'étude algébrique des liens entre logiques modales multivaluées et sémantique relationnelles.En eet, la théorie des extensions Nous considérons ensuite un dernier type de construction de structures.Il s'agit de l'extension canonique, obtenue en composant la construction de l'algèbre complexe d'une structure avec celle de la structure canonique d'une algèbre.Enn, nous obtenons, en suivant les traces des résultats des auteurs, deux généralisations du théorème de Goldblatt -Thomsason.En eet, les Théorèmes 2.75 et 2.78 caractérisent respectivement les classes de n -structures et de structures fermées par ultraproduit qui sont n -modalement dénissables.Systèmes modaux multivalués et complétude.Nous consacrons le troisième chapitre au problème général de complétude des logiques modales vis à vis des classes de structures relationnelles.Les résultats s'obtiennent par l'intermédiaire de la sémantique algébrique.En eet, toute logique modale normale multivaluée est complète vis à vis de la variété des algèbres qu'elle dénit.Cette complétude algébrique peut dans certains cas être traduite en un résultat de complétude vis à vis des sémantiques de Kripke via les constructions des structures canoniques et des algèbres complexes.À cet eet, le Lemme 2.40 déjà mentionné joue un rôle d'une importance capitale.[20], puis des expansions des treillis bornés [17], cette approche de la canonicité a déjà produit d'intéressants résultats (voir [21] par exemple).Comme il est possible de considérer la variété des MV-algèbres comme une variété d'expansions de treillis distributifs bornés, notre approche de la canonicité repose sur les résultats de [20].La variété des MV-algèbres n'étant pas canonique (voir [16]), nous restreignons notre étude aux variétés de MV-algèbres à opérateurs dont la MV-algèbre sous-jacente appartient à une variété niment engendrée.Après avoir rappelé les résultats de [20], nous prouvons que la dénition d'extension canonique d'une MV n -algèbre à opérateurs que nous avons adoptée dans le chapitre 2 coïncide avec la dénition classique (c'est-à-dire selon l'approche de [20]).Il s'agit d'un résultat essentiel puisqu'il permet de connecter l'approche classique de la canonicité avec les sémantiques de Kripke pour les logiques modales n -valuées.Ensuite, nous pouvons adopter la technique classique pour étudier la stabilité des équations au travers de ces extensions.Cette technique repose sur l'existence de liens entre les propriétés de stabilité des termes et les propriétés de continuité des connecteurs qui les composent.En mimant la démonstration du résultat pour les logiques modales bivaluées, nous obtenons le correspondant du théorème de Sahlqvist pour les logiques modales n -valuées et les extensions canoniques.Ce résultat corrobore notre point de vue sur l'approche algébrique des Nous obtenons alors une dualité ente la catégorie MMV L n des MV n -algèbres à opérateurs et une classe de structures topologiques.Cette dualité étend à MMV L n la dualité de Stone pour les algèbres de Boole à opérateurs.Ceci nous fournit bien sûr un résultat de complétude pour toute logique modale nivaluée L. Enn, nous envisageons le problème de la construction des coproduits dans la catégorie duale.INTRODUCTION xiii Modalités Pour terminer, précisons que, si dans cette introduction nous n'avons considéré que des logiques modales dans un langage ne contenant qu'un seul opérateur unaire, nous proposons dans cette dissertation des résultats plus généraux puisque nous autorisons autant de modalités d'arité quelconque que désiré.W (called the universe) whose elements are called worlds together with a binary accessibility relation R on W and a valuation map Val, i.e., a map that assigns a truth valued in {0, 1} to any propositional variable p in a world w.This map is extended to formulas by following the obvious rules for boolean connectives.For the modality ♦, the rule species that the formula xiv The compositions of these constructions allow an algebraic translation of questions about the connections between modal language and relational structures.For example, completeness, incompleteness and denability can be tackled with these tools.Among the results obtained thanks to this algebraic approach, let us cite Goldblatt and Thomason's results (that we generalize in this dissertation) about modal denability of elementary classes of structures (see [24]).Let us also cite Jónsson's results (see [32]) which are an algebraic version of Sahlqvist's completeness results and nally the results that extend Stone duality to boolean algebras with operators (see [29,52]).results about MV-algebras.The style may seem rough and the lost reader may consult the monograph [10] or the paper [22] to obtain complementary information about this variety.Besides the necessary general results, we recall in section 3 of chapter 1 some (folklore) results about the constructions of some terms in the language of MV-algebras.These results are widely applied in the entire dissertation.A is an MV-algebra with operators, the universe of its canonical structures is the set of the maximal lters of A. In this respect, Lemma 2.40 is an essential result for the dissertation.This result proves that the canonical model associated to an algebraic model extends naturally to formulas.canonical varieties helps to dene complete logics.One of the most fruitful methods to construct such varieties is a syntactical one: any variety that is dened by equations that are preserved by (strong) canonical extensions is a (strongly) canonical variety.This approach was initiated in [33] and [34] for varieties of boolean algebras with operators and was fully developed in [32] in which an algebraic proof of Sahlqvist's canonicity result is given.Since provides an imperfect representation result: the canonical extension of an algebra A may not satisfy every equation that is satised in A.Some information has been lost in the process.Similarly to boolean algebras with operators, the information is lost when the n -tight complex algebra of the canonical n -frame of A is constructed: the algebra of all the possible valuations on that structure is in general too wide to embody exactly the al