Topological paths and cycles in infinite graphs
Angelos Georgakopoulos · 2007
Das Hauptresultat dieser Dissertation ist die Verallgemeinerung auf lokal-endlichen Graphen des bekannten Satzes von Fleischner (Kapitel 7). Der Satz von Fleischner besagt dass das Quadrat jedes 2-zusammenhangenden endlichen Graphen Hamiltonsch ist. Diese Aussage wird hier fur lokal endlichen Graphen bewiesen; die Definition vom Hamiltonkreis die dabei verwendet wird ist diejenige von Bruhn: ein (topologischer) Hamiltonkreis ist ein homoo- morphes Bild von S1 in der Freudenthal Kompaktifizierung |G| des Graphen das alle Ecken enthallt. Ein Nebenresultat des entsprechenden Beweises ist ein kurzer Beweis des Satzes von Fleischner (Kapitel 7). Ein weiteres Resultat dieser Dissertation ist dass die geodatische Kreise eines lokal-endlichen Graphen G, bezuglich einer Zuweisung von Langen zu den Kanten von G, den topologischen Zyklenraum C(G) von G erzeugen (Kapitel 6). Der topologische Zyklenraum wurde von Diestel und Kuhn eingefuhrt, und hat die Verallgemeinerung von mehreren grundsatzlichen Eigenschaften des endlichen Zyklenraumes auf lokal-endlichen Graphen ermoglicht. Das benante Resultat ist eine Verallgemeinerung dieser Art. Desweiteren, es wurde durch Angabe eines Beispiels bewiesen, dass es einen lokal-endlichen Graphen G gibt, so dass |G| einen Teilraum X besitzt, der topologisch zusammenhangend aber nicht wegzusammenhangend ist (Kapitel 4). Dies widerlegt eine Vermutung von Diestel. This thesis is about infinite graphs. Its main result is the extention to infinite, locally finite graphs of a well known theorem of Fleischner about the square of a finite graph. The n-th power Gn of a graph G is the graph on V(G) in which two vertices are adjacent if and only if they have distance at most n in G. Fleischner’s theorem states that: Theorem 1.1 (Fleischner). If G is a finite 2-connected graph, then G2 is Hamiltonian. Settling a conjecture of Diestel we fully extend this fact to locally finite graphs.