Pisot substitutions and Rauzy fractals
Pierre Arnoux, Shunji Ito · Bulletin of the Belgian Mathematical Society - Simon Stevin · 2001
We prove that the dynamical system generated by a primitive unimodular substitution of the Pisot type on d letters satisfying a combinatorial condition which is easy to check, is measurably isomorphic to a domain exchange in R d-1 , and is a finite extension of a translation on the torus T d-1 .In the course of the proof, we introduce some potentially useful notions: the linear maps associated to a substitution and their dual maps, and the σ-structure for a dynamical system with respect to a pair of partitions. RésuméNous prouvons qu'un système dynamique engendré par une substitution sur d lettres, unimodulaire, primitive, de type Pisot, et satisfaisant une condition combinatoire facile à verifier, est mesurablement isomorphe à un échange de domaine dans R d-1 , et est une extension finie d'une translation sur le tore T d-1 .Au cours de la preuve, nous introduisons des concepts qui devraient se révéler utile ailleurs : les extensions linéaires associées à une substitution et leurs applications duales, et la notion de σ-structure d'un système dynamique par rapport à une paire de partitions.