Limits of Dirichlet problems in perforated domains: a new formulation
Gianni Dal Maso, Rodica Toader · OpenstarTs (Univeristy of Trieste https://www.units.it/) · 1994
Sia A un operatore ellittico lineare del secondo ordine con coefficienti misurabili e limitati su un aperto limitato $\\Omega$ di $\\mathbf{R}^{\\textrm{n}}$ , sia \\[ K*=\\{w*\\epsilon H_{0}^{1}\\left(\\Omega\\right):A*w*\\leq1\\, in\\,\\mathcal{D}'\\left(\\Omega\\right)\\qquad, \\] \\[ e,\\, w*\\geq0\\, a.e.\\, in\\,\\Omega\\}\\qquad, \\] e sia $\\Omega_{h}$ un'arbitraria successione di sottoinsiemi aperti di $\\Omega$. Dimostriamo il seguente risultato di compattezza: esistono una sottosuccessione, che indichiamo ancora con $\\Omega_{h}$ ed una funzione w{*} $\\epsilon$ K{*} tali che, per ogni f $\\epsilon L^{\\infty}\\left(\\Omega\\right)$ , le soluzioni u$_{h}\\epsilon H_{0}^{1}\\left(\\Omega_{h}\\right)$ delle equazioni Au$_{h}$ = f in $\\Omega_{h}$ , estese a zero su $\\Omega/\\Omega_{h}$, convergano debolmente in $H_{0}^{1}\\left(\\Omega\\right)$ all'unica soluzione u del problema. \\[ \\left(*\\right)\\begin{cases} \\begin{array}{c} u\\epsilon H_{0}^{1}\\left(\\Omega\\right)\\cap L^{\\infty}\\left(\\Omega\\right)\\\\ \\left\\langle Au,\\, w*\\varphi\\right\\rangle -\\left\\langle A*w*,\\, u\\varphi\\right\\rangle +\\left\\langle 1,u\\varphi\\right\\rangle =\\left\\langle f,w*\\varphi\\right\\rangle \\:\\forall\\varphi\\epsilon C_{0}^{\\infty}\\left(\\Omega\\right) \\end{array}\\end{cases} \\] Studiamo inoltre in maniera sistematica le proprietà delle soluzioni di tale equazione. Dimostriamo infine il seguente risultato di densità: per ogni w{*}$\\epsilon$K{*} esiste una successione $\\Omega_{h}$ di sottoinsiemi aperti di $\\Omega$ tali che per ogni f $\\epsilon L^{\\infty}\\left(\\Omega\\right)$ le soluzioni u$_{h}\\epsilon H_{0}^{1}\\left(\\Omega_{h}\\right)$ dell'equazione Au$_{h}$=f in $\\Omega_{h}$, estese a zero $\\Omega/\\Omega_{h}$ convergano debolmente in $H_{0}^{1}\\left(\\Omega\\right)$alla soluzione di ({*}).