Jacobi-Davidson Type Methods for Computing Rovibronic Energy Levels of Triatomic Molecules
P. Langer · 2009
Die Aufgabe, Losungen der zeitunabhangigen Schrodinger-Gleichung zu bestimmen, ist eine schon seit langem bestehende enorme Herausforderung in vielen wichtigen naturwissenschaftlichen Themenfeldern. Da symbolische Losungen des Operator-Eigenwertproblems nur in den seltensten Fallen explizit angegeben werden konnen, ist man zumeist gezwungen, auf numerische Techniken -- insbesonders auf Verfahren fur gigantische hermitesche Eigenwertprobleme -- zuruckzugreifen. In der vorliegenden Arbeit befassen wir uns mit dem speziellen Fall drei-atomiger Molekule, die den sogenannten doppelten Renner Effekt aufweisen. Wir erlautern zunachst den Ursprung sowie den theoretischen Hintergrund des abstrakten Schrodinger Problems und diskutieren gangbare Techniken fur den Ubergang zu endlich dimensionalen hermiteschen Matrizen, die den ursprunglichen Hamilton-Operator hinreichend gut approximieren und somit einer numerischen Behandlung zuganglich machen. Auf Grund des enormen Speicherbedarfs und der immensen Rechenzeiten, die sich schnell auf bis zu mehrere Wochen erstrecken konnen, ist die Anwendung konventioneller, so genannter direkter Loser (QR Verfahren, RRR Algorithmus) entweder nicht moglich oder nicht ratsam. Unser Hauptaugenmerk bei der Behandlung des Matrix-Eigenwertproblems liegt daher auf Varianten des Jacobi-Davidson Verfahrens, die zur alternativen Klasse der iterativen Projektionsmethoden zahlen. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass diese Verfahren in unserem Kontext erfolgreich angewendet werden konnen, d.h. dass sie -- was die Rechenzeit anbelangt -- zumeist effizienter sind als direkte Eigenloser einerseits und die ubrigen Verfahren aus der Klasse der iterativen Projektionsmethoden (Lanczos, Davidson, Olsen) andererseits. Um dies bewerkstelligen zu konnen, mussen wir geeignete Prakonditionierer fur die auftretenden Shift-and-Invert Systeme identifizieren und konstruieren, welche die Problem-spezifischen Informationen ausnutzen. Auserdem sind dem Problem angepasste Routinen fur die Matrix-Vektor Multiplikation entscheidend fur den Erfolg unseres Ansatzes. Wir erlautern unsere Ideen an Hand umfangreicher numerischer Experimente und Resultate.