Infinite graphs with a tree-like structure
Matthias Hamann · 2011
In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir im ersten Teil die Baumahnlichkeit hyperbolischer Graphen. Dazu konstruieren wir fur jeden lokal-endlichen hyperbolischen Graphen, dessen hyperbolischer Rand eine endliche Assouad-Dimension hat, einen Spannbaum, sodass einerseits der hyperbolische Graph selbst durch den Baum gut dargestellt wird: jeder Strahl des Baumes ist schlieslich quasi-geodatisch und jeder geodatische Strahl des Graphen liegt schlieslich in einer konstanten Umgebung des unendlichen Gerusts des Baumes. Andererseits gibt der Rand des Baumes uns auch eine gute Darstellung des hyperbolischen Randes des Graphens, indem sich die Einbettung des Baumes stetig auf den Rand zu einer surjektiven Abbildung fortsetzen lasst, sodass jeder Randpunkt des Graphens beschrankt viele Urbilder unter dieser Fortsetzung hat. Im zweiten Teil der Arbeit werden Graphen studiert, die gewisse Gruppenoperationen auf ihrem Rand realisieren: zuerst zeigen wir, dass kein lokal-endlicher ein-endiger hyperbolischer plattbarer Graph existiert, auf dem eine Gruppe derart opertiert, dass sie einen seiner Randpunkte fixiert und auf seinen Knoten transitiv operiert. Danach werden zusammenhangende unendlich-endige Graphen charakterisiert, auf denen eine Gruppe transitiv operiert und gleichzeitig einen der Enden fixiert. Wir erhalten, dass diese Graphen quasi-isometrisch zu Baumen sind. Der letzte Abschnitt des zweiten Teils charakterisiert Graphen mit unendlich vielen Enden, sodass die Automorphismgruppe des Graphen transitiv auf dessen Enden operiert. Auch in diesem Fall erhalten wir eine Baumahnlichkeit: es existiert ein Teilgraph, der quasi-isometrisch zu einem Baum ist und dessen Loschung aus dem ursprunglichen Graphen einen strahlenlosen Graphen ubrig lasst. Im dritten Teil dieser Dissertation erhalten wir Klassifikationsresultate fur Graphen, die spezielle Transitivitats- oder Homogenitatseigenschaften besitzen. So werden zunachst mehr-endige Abstands-transitive Graphen klassifiziert und anschliesend mehr-endige k-CS-transitive fur k≥3. Im letzten Kapitel klassifizieren wir zusammenhangend-homogene Digraphen, die entweder endlich oder lokal-endlich oder zusammenhangend und mehr-endig sind.