On the homology of infinite graphs with ends
Philipp Sprüssel · 2010
The topological cycle space C(G) of an infinite graph G has been introduced in 2004 by Diestel and Kuhn. It enabled them to extend the cycle space theorems, which show the interaction of the cycle space of a finite graph G with the combinatorial structure of G, in particular with commonly investigated graph properties like connectivity or planarity, to locally finite graphs. The definition of C(G) was given in combinatorial terms and was based on the Freudenthal compactification |G| of G. The main aim of this thesis was to investigate if C(G) can also be defined in terms of homology. Simplicial homology is obviously not the right approach for this aim; this thesis investigates the singular homology (Chapter 4) and the Cech homology (Chapter 5) of |G|. The main result of Chapter 4 is that C(G) is usually a proper quotient of the first singular homology group of |G|: The natural homomorphism from the first homology group of |G| to C(G) is always surjective but not normally injective. On the other hand, the first Cech homology group is canonically isomorphic to C(G). But this group isomorphism does not enable us to extend the cycle space theorems to Cech homology: The definition of Cech homology as an inverse limit causes a loss of information. In particular, one cannot determine which elements of the first Cech homology group correspond to circles in |G|, which is an essential part of many cycle space theorems. In order to prove the non-injectivity of the homomorphism from Chapter 4 we develop in Chapter 3 a combinatorial characterization of the fundamental group of |G|, a result which serves as a tool in Chapter 4 but which is also a desirable result in its own right. The characterization of the fundamental group uses infinite words whose letters are the chords of a fixed topological spanning tree of G. This characterization re-proves the characterization of the fundamental group of the Hawaiian Earring given by Higman and by Cannon and Conner. The last aim of this thesis is then to construct a homology theory, based on singular simplices, which generalizes the topological cycle space to a broader class of spaces. This task is completed in Chapter 6: We define a homology theory for locally compact Hausdorff spaces that captures, for locally finite graphs G and dimension one, precisely the topological cycle space of G and that satisfies the Eilenberg-Steenrod axioms for homology. Der topologische Zyklenraum C(G) eines unendlichen Graphen G wurde 2004 von Diestel und Kuhn eingefuhrt. Mit seiner Hilfe war es moglich, die Zyklenraum-Theoreme, welche den Zyklenraum eines endlichen Graphen mit seinen strukturellen Eigenschaften wie Zusammenhang oder Plattbarkeit in Verbindung setzen, auf lokal endliche Graphen zu erweitern. Die Definition von C(G) wurde dabei auf kombinatorischem Wege mit Hilfe der Freudenthal-Kompaktifizierung |G| von G gegeben. Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung, ob sich C(G) auch uber eine Homologietheorie definieren lasst. Die simpliziale Homologie scheidet als Kandidat hierfur offensichtlich aus, naher untersucht werden die singulare Homologie (Kapitel 4) und die Cech-Homologie (Kapitel 5) von |G|. Das Hauptresultat von Kapitel 4 ist, dass C(G) ein echter Quotient der ersten singularen Homologiegruppe von |G| ist: Der naturliche Homomorphismus von der ersten Homologiegruppe von |G| nach C(G) ist stets surjektiv aber im Allgemeinen nicht injektiv. Hingegen ist die erste Cech-Homologiegruppe kanonisch isomorph zu C(G), allerdings genugt dieser Gruppenisomorphismus nicht, um die Zyklenraum-Theoreme auf die Cech-Homologie zu erweitern: Aufgrund der Definition der Cech-Homologie als inverser Limes geht etwa die Information verloren, welche Elemente der ersten Cech-Homologiegruppe Kreisen in |G| entsprechen, was jedoch ein entscheidender Bestandteil vieler Zyklenraum-Theoreme ist. Als Hilfsmittel fur den Beweis der Nicht-Injektivitat des Homomorphismus aus Kapitel 4 wird in Kapitel 3 eine kombinatorische Beschreibung der Fundamentalgruppe von |G| entwickelt, ein bereits an sich wunschenswertes Resultat. Zur Beschreibung der Fundamentalgruppe werden unendliche Worter verwendet, deren Buchstaben die Sehnen eines fest gewahlten topologischen Spannbaumes von G sind. Die erhaltene Beschreibung liefert als Korollar eine bekannte Beschreibung der Fundamentalgruppe des Hawaiischen Ohrrings durch Higman sowie Cannon und Conner. Das letzte Ziel dieser Dissertation ist die Konstruktion einer Homologietheorie, basierend auf singularen Simplizes, welche das Konzept des topologischen Zyklenraumes verallgemeinert. In Kapitel 6 gelingt dieses Vorhaben: Es wird eine Homologietheorie fur lokal kompakte Hausdorff-Raume definiert, welche fur lokal endliche Graphen den topologischen Zyklenraum als erste Homologiegruppe besitzt und zusatzlich die Eilenberg-Steenrod-Axiome fur Homologie erfullt.