Relaxation for a class of nonconvex functionals defined on measures
Guy Bouchitté, Giuseppe Buttazzo · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 1993
We characterize in a suitable integral form like \bar{\mathrm{F}}(\mathrm{\lambda }) = \int ^{\:}_{\mathrm{\Omega}} \bar f\left(x,\frac{d\mathrm{\lambda }}{d\mathrm{\mu }}\right) d\mathrm{\mu } + \int ^{\:}_{\mathrm{\Omega } \setminus \mathrm{A}_{\mathrm{\lambda }}}\bar{\mathrm{\varphi}} (x,\mathrm{\lambda }^{s}) + \int ^{\:}_{\mathrm{A}_{\mathrm{\lambda }}}\bar g(x,\mathrm{\lambda }(x))\:d\# the lower semicontinuous envelope \bar{\mathrm{F}} of functionals F defined on the space \mathcal M(\Omega),\mathbf R^n of all \mathbf R^n -valued measures with finite variation on Ω . Résumé On établit une représentation intégrale de la forme: \bar{\mathrm{F}}(\mathrm{\lambda }) = \int ^{\:}_{\mathrm{\Omega}} \bar f\left(x,\frac{d\mathrm{\lambda }}{d\mathrm{\mu }}\right) d\mathrm{\mu } + \int ^{\:}_{\mathrm{\Omega } \setminus \mathrm{A}_{\mathrm{\lambda }}}\bar{\mathrm{\varphi}} (x,\mathrm{\lambda }^{s}) + \int ^{\:}_{\mathrm{A}_{\mathrm{\lambda }}}\bar g(x,\mathrm{\lambda }(x))\:d\# pour la régularisée semicontinue inférieure \bar{\mathrm{F}} d’une fonctionnelle F définie sur l’espace \mathcal M(\Omega),\mathbf R^n des mesures à variation bornée sur Ω à valeurs dans \mathbf R^n .